Fungsi, Persamaan , dan pertidaksamaan kuadrat

1. Fungsi
    ni link nya biar tambah tau tentang fungsi tinggal di klik
 2. Persamaaan kuadrat
    

PERSAMAAN KUADRAT

Pengertian Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

   Koefisien x²    konstanta

       Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

 

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x

     

v  Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

a.       Memfaktorkan

untuk bentuk ax² + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya  b dan hasil kalinya c

b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

     ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x² – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x² – 2x + 1 = (x - 1)

c.       Menggunakan rumus kuadrat

                                                                        Dengan b² – 4ac  ≥

           

Nilai diskriminan (D)

Jika b2 – 4ac  < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

Jika b2 Jika b2 – 4ac  = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian

Jika b2 – 4ac  > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

v    Menyusun Persamaan Kuadrat

(x -  x1) (x – x2) = 0

Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.

Ø  Memakai faktor  :                                                      

Ø  Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc

x₁ + x₂ =  -b  + √ b2 – 4ac   +  - b  - √ b2 – 4ac  

         2a                              2a

                  =   -2b       

                                     2a

                              =     -b

                                      a

   x₁ x x₂  =  -b  + √ b2 – 4ac   x  - b  - √ b2 – 4ac  

                              2a                           2a

                              =  b² – (b² – 4 ac)

                                    4a²

                              =  4ac

                                  4a²

                              =  c

                                  a

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0

                                   

Sehingga dapat dinyatakan

Contoh

   Contoh 1 :

☺        Bagaimana merubah persamaan 2x² = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

            Penyelesaian :  2x² = 3x – 8

                        <=>     2x²  - 3x =  3x-3x -8    (kedua ruas dikurangi 3x)

                        <=>     2x² – 3x = -8

                        <=>     2x² - 3x  + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

                        <=>     2x² – 3x +  8 = 0

                  Jadi a  = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :

Cara memfaktorkan

      Contoh :          x² – 5 x + 6 = 0

                           <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

                           <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

                           <=> x = 2     atau x = 3

                           Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapakan Kuadrat

Contoh :         Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :         x² + 2x – 15 = 0

                        x² + 2x = 15

Agar x² + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)² = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

            x² + 2x + 1 = 15 + 1

                        <=>     (x + 1)² = 16

<=>     x + 1 = ± √16

<=>     x + 1 =  ± 4

<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=>     x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4

a.      Menggunakan rumus kuadrat

            Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0

           

                                                                                     

                                                                                      a =1   b = 4   c = -12

            penyelesaian

            x_1,2 = - b ± √b² – 4ac

                            2a

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12)

                                    2 x 1

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √16 + 48

                                2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √64

                            2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± 8

                            2

<=>     x_{1,2 =}  - 4  +  8            atau        x_{1,2 =}  - 4   -  8          

2                                                                                        2

<=>     x₁ = 2                        atau       x₂ = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Contoh 5 : Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???

            Cara 1 :          x₁ = 2 dan x₂ = 5

                        Maka   (x-x₁) (x-x₂) = 0

                        <=>     (x-2) (x-5) =  0

                        <=>     x² – 7x + 10 = 0

                        Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

            Cara 2            :          x₁ = 2 dan x₂ = 5

                        Maka   x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0

                        Dengan (x₁ + x₂) = 2 + 5 = 7

                                    x₁. x₂ = 2.5 = 10

                        Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0

Contoh 6 : penerapan Persamaan Kuadrat

Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m². Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?

Penyelesaian :

Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka

Y = ( x- 12) meter

Luas tanah = x . y

4.320        = x . y

<=>  4.320        = x . (x-12)

<=>  x² – 12x – 4320 = 0

<=>  (x- 72) (x + 60) = 0

<=>  x - 72 = 0  atau x + 60 = 0

<=>  x      = 72 atau  x   = - 60

karena panjang tanah harus positif,  nilai yang memenuhi adalah x = 72.

Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60

Jadi, panjang tanah  adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.

LATIHAN

☺     Nyatakan persamaan  2 (x² + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat !

☺     Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0, jika x є R!

☺     Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !

☺     Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !

Pemyelesaian

1)               2 (x² + 1) = x (x + 3)

<=>     2x² + 2 = x² + 3x

<=>     2x² – x² + 2 = x² – x² + 3x (kedua ruas dikurangi x2)

<=>     x² + 2 = 3x

<=>     x² – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)

<=>     x² – 3x + 2 = 0

         Jadi, a =  1, b = -3, dan c = 2

2)      Dua bilangan yang jumlahnya -5

         Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh

                        2x² – 5x – 3 = 0

            <=>     (2x + 1) (2x – 6) = 0

            <=>     2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0

            <=>     x = - 1      atau x = 3

                                2         

         Jadi HP = {- 1, 3}

                             2

3)      dengan cara memfaktor

         x₁ = 3 dan x₂ = 0

         (x -  x₁) (x – x₂) = 0

         (x – 3) (x-0) = 0

         x (x – 3) = 0

         x² – 3x = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah x² – 3x = 0

4)      Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12

         Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :

         x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)

<=> 12x – x2 = 35

<=> x² – 12 = -35

<=> x² – 12x  36 = -35 +36

<=> (x – 6)² = 1

<=> x – 6 = ±1

<=> x - 6 = 1  atau x – 6 = -1

<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6

<=> x = 7 atau x = 5

jika x = 7 maka y = 12 -  7 = 5

jika x = 5 maka y = 12 – 5 = 7

jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7 

3. Pertidaksamaan kuadrat

    untuk materi pertidaksamaan kuadrat silahkan klik